Combinacion lineal, dependencia e independencia lineal

Una combinación lineal de dos o más vectores es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por sendos escalares



Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.




Dados los vectores
calcular el vector combinación lineal

(2,1) = a(3,-2)+(1,4)
(2,1)= (3a,-2a)+ (b,4b)
(2,1)= (3a+b,-2a+4b)
2 = 3a + b
1 = -2a + 4b

a = 1/2
b = 1/2


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Dependencia lineal

Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinación lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal


Propiedades

1.Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.


Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2.Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3.Dos vectores del plano U = (u1,u2) y V = (v1,v2)son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.


Independencia lineal

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los otros.

a1 = a2 = ... = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección

EJERCICIOS:

*Estudiar la dependencia lineal de los vectores: u = (3,1) y v = (2,3)

3/2 = 1/3 3.3 # 2.1

Son linealmente dependientes

*Estudiar la dependenci lineal de los vectores u = (x - 1, 3) y v = (x + 1, 5)

x-1/3 = x+1/5 5x-5 = 3x+3

x = 4
Son linealmente dependientes para x = 4

*Estudiar la dependencia lineal de los vectores:
u = (5, 3 - x) y v = (x + 9, 3x + 1)

5/x+9 = 3-x/3x+1
15x + 5 = 3x - x^2 + 27 - 9x
x = 1
x = -22

Son linealmente dependientes para x = 1 y x = -22