ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNO Y SUS PROPIEDADES

Sean X = ( x 1, x 2, ..., x n ), Y = ( y 1, y 2, ..., y n ) dos vectores arbitrarios de
Rn. Definimos el producto interno de X e Y así:
X, Y = å
i=1
n
x i y i. (1.2.1)
Las propiedades de (1.2.1) son:
1. X, Y = Y, X .
2. X + Z, Y = X, Y + Z, Y .
3. lX, Y = l X, Y .
Las propiedades 2. y 3. nos dicen que el producto interno es lineal en la primera variable. Por la
propiedad 1. concluimos que también lo es en la segunda variable.
Existen en la literatura matemática otras notaciones para el producto interno, por ejemplo: X.Y y se le
conoce con el nombre de producto punto. Otra notación, bastante aparatosa, es X|Y , que
aparece frecuentemente en los libros de Física.
Con esl uso del producto interno introducimos uno de los conceptos más notables en matemáticas: la
norma de un vector.
Definición (1.2.2): Sea X = ( x 1, x 2, ..., x n ) Î Rn, definimos la norma de X así:
X = X, X = å
i=1
n
x i
X = X, X = å
i=1
n

La longitud (norma) de un vector de Rn es V = (v1, v2, ..., vn ) esta dada por:

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||V|| =" v12 + v22 + ... + vn2 esta no puede ser negativa si el vector v = 1 este se llama vector unitario dos vectores U y V en Rn son paralelos si al vector V es múltiplo del vector U, es decir, si U = cV si c > 0 los vectores van a la misma dirección y si c < 0 van en dirección opuesta, la longitud de un múltiplo escalar se ve por la formula || cV || = | c | || V || donde | c | es el valor absoluto de c y c es un escalar.

El vector unitario de V es si V " 0 entonces U = V / ||V|| es de longitud uno y tiene la misma dirección de U+V se llama vector unitario en dirección de V este proceso se llama normalización del vector V.

La distancia entre dos puntos se llama normalización del vector V.

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d =" (u1 - v1 )2+ (u2 - v2 )2 y la distancia entre dos vectores en R2 se encuentra .

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d(U,V) = || U - V || =" (u1 - v1 )2+ (u2 - v2 )2 donde U = (u1 - u2 ) y V = (v1 - v2 ).

Las propiedades que cumple la distancia son:

d( U , V ) " 0.

d( U , V ) = 0 si solo si U = V.

d( U , V ) = d( V , U ).

Para encontrar el ángulo entre dos vectores distintos de cero usamos la formula:

Cos = (u1v1 + u2v2) / ||U|| ||V|| donde U = ( u1, u2 ) y V = ( v1 , v2 ) y donde u1v1 + u2v2 se denota como producto punto de dos vectores. El producto punto para Rn se denota U % V = u1v1 + u2v2 + ... + unvn las propiedades que cumple son :

U % V = V % U

U % (V + W) = U % V + U % W

c ( U % V ) = cU % V = U % cV

V % V " ||V|| 2

V % V " 0 y V % V = 0 si solo si V = 0

Donde c es un escalar y que U, V, W son vectores cualesquiera en Rn.

Desigualdad de gauchy - schawarz:

La desigualdad de Gauchy - Schwarz dice que | U % V | " || U || || V || don de | U % V | es valor absoluto de U % V donde U y V son vectores viendo esta desigualdad podemos definir el ángulo entre dos vectores en Rn así : Cos = (U % V ) / (||U|| ||V||) esta formula no define ángulos entre dos vectores, si U % V = 0 se dice que los ángulos son ortogonales.

La desigualdad del triangulo:


Dice si U y V son vectores entonces || U + V || " || U || + || V ||.

El teorema de Pitágoras:

Este dice si U y V son vectores entonces || U + V ||2 = || U || 2 + || V || 2 solo para vectores ortogonales.

Un producto punto es un producto interno Euclidiano esto es un producto interno que se puede definir en R2. para poder diferenciar el producto interior de otros posibles productos internos lo escribiremos esto será el producto general para el espacio vectorial V.

Para solucionar un producto interno se procede igual que al definir un espacio vectorial en el acho de que debe cumplir con varios axiomas para poder calificar como producto interno estos axiomas son:

Siendo U, V, W vectores en V y c cualquier escalar:

=

= + o = +

c =

" 0 y = 0 si solo si v = 0

= = 0

Para definir la norma, distancia, ángulo de dos vectores que tenga producto interno:

siendo U, V vectores en V:

______

norma = ||U|| = "

distancia entre U, V = d= || U - V ||

ángulo entre vectores U, V diferentes de 0 cos = / ( ||U|| ||V|| ) donde 0 " " .

Dos vectores con producto interno son ortogonales si = 0. El vector unitario de un vector con producto interno || U || = 1 el vector unitario en dirección de V donde U = V / || V || donde V " 0. Para ver si U y V son vectores en el espacio con producto interno deben cumplir con las propiedades de norma:

|| U || " 0.

|| U || = 0 si solo si U = 0.

|| cU || = | c | || U ||.

Y las propiedades de la distancia antes ya mencionadas.

Además cumplen con la desigualdad de Gauchy - Schawarz, desigualdad del triangulo y el teorema de Pitágoras antes yya explicadas.

Proyecciones ortogonales en espacios con producto interno:

Si U y V son vectores en el plano y V es diferente de 0 entonces este se puede proyectar ortogonalmente a U y se denota como

ProyV U = [ ( U%V ) / ( V%V ) ]V

proyU V = [ ( U%V ) / ( U%U ) ]U donde U%V y V%V son el producto punto o producto interno Euclidiano.

Para en el espacio la proyección se denota como proyv U = [ / ]V , proyv U = [ / ]U.

La proyección ortogonal y distancia:

Siendo U y V dos vectores en el espacio V con producto interno y V " 0. Entonces la distancia d ( U, proyv ) < d ( U, cV ) donde c " / .

Definición de conjuntos ortonormales y conjuntos ortogonales:

En un conjunto de vectores S de el espacio vectorial V es producto interno es ortogonal si cada vector de y seria espacio ortonormal si cada vector S es unitario.

Es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j y || vj || = 1 donde i = 1, 2, 3, ..., n y es ortonormal si < vi, vj > = 0 i " j donde vi, vj pertenecen al conjunto s = { v1, v2, ..., vn }

Un conjunto ortogonal es linealmente independiente si s es un conjunto de vectores diferentes de cero y que pertenecen al espacio v con producto interno.

Proceso para ortonormalizar de Gram - Schmidt:

Ver si la base tiene producto interno (como ya lo vimos).

Convertir la base a una base ortogonal.

Sea B = { v1, v2, ..., vn }

w1 = v1

w2 = v2 - proyw1 v2

wn = vn - proyw1 v3 - … - proyw(n-1) vn

B' = { w1, w2, ..., wn }

y para ortonormalizar ui = wi / ||wi|| donde I = 1, 2, ..., n.

Donde B'' = { u1, u2, ..., un } es un abase ortonormal.

Aplicación de los espacios con producto interno:

Producto cruz de dos vectores en el espacio:

Donde U = (u1, u2, ..., un )

V = (v1, v2, ..., vn )


U x V =

por el método de cofactores = i + j + k .

las propiedades del producto cruz:

U x V = V x U

c ( U x V ) = c U x V = U x c V

U x U = 0

U x ( V + W ) = ( U x V ) + ( U x W )

U x 0 = 0 x U

U ( V x W ) = ( U x V ) W

U x V son paralelos si U x V = 0.

Aproximación por mínimos cuadrados:

Siendo f y g dos funciones en x y funciones continuas en un intervalo finito [ a, b ] entonces.

I = 2 dx siendo I = 0 si ( f - g ) ! 0 esto se puede representar como :

= 2 dx siendo I = 2 dx = = || f - g || 2 esto significa que es equivalente minimizar || f - g || 2 y || f - g ||.

La aproximación de minimos cuadrados esta dada por:

g = w1 +w2 + ... + wn siendo w1 = w1 donde b = {w1, w2, w3,}