UNIDAD 4 ESPACIOS VECTORIALES

Un espacio vectorial es aquel conjunto de vectores que cumple las propiedades o axiomas de la suma de vectores y la multiplicación por un escalar dichas propiedades vistas en espacios n-dimensiónales Rn o R2. Un espacio vectorial es un espacio no vacío.

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.

Podríamos decir que un espacio vectorial es la abstracción de las propiedades de un espacio n-dimencional , debe tomarse en cuenta que en el espacio vectorial no se especifica operaciones ni vectores entonces se puede usar cualquier vector y cualquier operación se puede sustituir la suma de vectores y la multiplicación por un escalar, pero siempre cumpliendo todos las propiedades, siempre seria un espacio vectorial.

Un espacio vectorial cumple con cuatro partes que son: un conjunto de vectores, un conjunto de escalares, y dos operaciones. Estos forman un cuerpo que es igual a las estructuras algebraicas de dos operaciones (un cuerpo). Para comprobar que determinado conjunto es un espacio vectorial es preciso definir o especificar las propiedades de suma multiplicación por un escalar como vimos anteriormente tenemos que definir el elemento que actúa como cero (0) y el negado de cada elemento.

A continuacion una definicion mas formal de lo que es un espacio vectorial

Sea V un conjunto en el cual dos operaciones, llamadas adicion y multiplicacion escalar, han sido definidas. Si u y v se encuentran en V, la suma de u y v se denota por medio de u + v y si c es un escalar, el multiplo escalar de u por c se denota como cu. Si los siguientes axiomas son validos para todo u, v y w en V y para todos los escalares c y d, entonces V se denomina espacio vectorial y sus elementos son llamados vectores.

1. u + v está en V. Cerradura bajo la adición

2. u + v = v + u. Conmutabilidad

3. u +(v + w)=(u + v)+ w. Asociatividad

4. Existe un elemento 0 en V, denominado vector cero o nulo, tal que u + 0 = u.

5. Para cada u en V, existe un elemento -u en V tal que u + (-u)= 0

6. cu esta en V. Cerradura bajo la multiplicacion escalar.

7. c(u + v)= cu + cv. Distributividad

8. (c + d)u = cu + du. Distributividad

9. c(du) = (cd)u. Asociatividad.

10. 1(u)= u. Identidad escalar

A continuacion algunos videos de la definicion de un espacio vectorial y sus propiedades