ELIMINACION DE GAUSS-JORDAN

Camile Jordan:Pionero de la teoría de las matrices, es famoso por el teorema de las curvas de Jordán, el cual afirma que una curva cerrada simple (tal como la circunferencia) "divide al plano en dos regiones conexas agenas"

X1 + 3X2 + 2X3 +2X5 = 0
2X1 + 6X2 - 5X3 - 2X4 + 4X5 - 3X6=-1
5X3 + 10X4 + 15x6=5
2X1 + 6X2 + 8X4 + 4X5 +18X6=6

La matriz aumentada del sistema es
1 3 -2 0 2 0 0
2 6 -5 -2 4 -3 -1
0 0 5 10 0 15 5
2 6 0 8 4 18 6

Sumando el primer renglón multiplicado por -2 al segundo y cuarto renglón se obtienen

1 3 -2 0 2 0 0
0 0 -1 -2 0 -3 -1
0 0 5 10 0 15 5
0 0 4 8 0 18 6

Multiplicad el renglón dos por -1 y después sumando el segundo renglón por -5 al tercero y al segundo renglón multiplicador -4, al cuarto se obtiene

1 3 -2 0 2 0 0
0 0 1 2 0 0 1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 2 2

Intercambiando el tercer y cuarto renglón y después multiplicando el tercer renglón de la matriz resultante por un sexto se obtiene la forma escalonada

1 3 -2 0 2 0 0
0 0 1 2 0 3 0
0 0 0 0 0 1 1/3
0 0 0 0 0 0 0

Sumando el tercer renglón multiplicado por -3 al segundo renglon y después sumando el segundo renglon de la matriz resultante multiplicado por dos al primero se obtiene la forma escalonada reducida

1 3 0 4 2 0 0
0 0 1 2 0 0 0
0 0 0 0 0 1 1/3
0 0 0 0 0 0 0

El sistema de ecuaciones correspondiente es
X1 + 3X2 + +4X4 + 5X5 =0
X3 +2X4 =0
X6=1/3
Se elimino la ultima ecuación dado que las soluciones de las ecuaciones restantes las satisfacen automanticamente
Despejando las variables principales se obtienen
X1 =-3X2 - 4X4 - 2X5
X3=-2X4
X6=-1/3

Si a X2, X4 y X5 se les asignan los valores arbitrarios R, S y T, respectivamente en conjunto de soluciones queda defino por la forma
X1=-3R - 4S - 2T
X2=R
X3=-2S
X4=S
X5=T
X6=1/3

A menudo es mas conveniente resolver un sistema de ecuaciones lineales llevando la matriz aumentada a la forma escalonada e vez de seguir adelante hasta tener la forma escalonada reducida. Cuando se aplica este ultimo método el sistema por ecuación correspondiente se puede resolver mediante una técnica conocida como sustitucion en reversa.