jueves, 27 de mayo de 2010

6.5 Diagonalizacion de matrices simetricas, diagonalizacion ortogonal

Dada A una matriz simétrica asociada a f, endomorfismo de Rn, se verifican las siguientes
propiedades:
Teorema 1. Sea A una matriz simétrica real de n x n. Entonces los valores característicos de A son reales.

Teorema 2. Sea A una matriz simétrica real de n x n. Si λ1 y λ2 son valores característicos distintos con correspondientes vectores característicos reales v1 y v2, entonces v1 y v2 son ortogonales.

Teorema 3.Sea A una matriz simétrica real de n x n. Resulta entonces que A tiene n vectores característicos reales ortonormales.

Obervación. Se concluye de este teorema que la multiplicidad geométrica de cada valor característico de A es igual a su multiplicidad algebraica.

El Teorema 3 nos dice que si A es simétrica entonces Rn tiene una base B = {u1, u2, ... un} que consiste de vectores característicos ortonormales de A. Sea Q la matriz cuyas columnas u1, u2, ... un. Entonces Q es una matriz ortogonal. Esto nos conduce hacia la siguiente definición.

Una matriz diremos que es ortogonal si su traspuesta coincide con su inversa.



Definicion. Matriz ortogonalmente diagonizable. Una matriz A de n x n se dice que es diagonalizable ortogonalmente si existe una matriz ortogonal Q tal que
Q'AQ = D (1)

donde D = diag(λ1, λ2, ..., λn) y λ1, λ2, ..., λn son los valores característicos de A.

Teorema 4. Sea A una matriz real de n x n. Entonces A es diagonalizable ortogonalmente si y sólo si A es simétrica.

Procedimiento para encontrar una matriz diagonalizante Q:

i. Encuentre una base para cada espacio característico de A.

ii. Encuentre una base ortonormal para cada espacio característico de A, usando el procedimiento Gram-Schmidt.

iii. Establezca a Q como la matriz cuyas columnas son los vectores característicos ortonormales obtenidos en el paso (ii).

Entre las aplicaciones de la diagonalización de matrices cuadradas se encuentra el análisis de la solución de un sistema dinámico a lo largo del tiempo. Un sistema se caracteriza por el estado de las n variables
que lo determinan y se puede representar por un vector x de Rn cuyas componentes expresan los valores de esas variables.

Ejemplo:


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