6.6 Formas cuadraticas

Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes: a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en el cuerpo K tal que (x) = f(x,x). A f se le llama forma polar de . b) (lx) = l2x, . Además f(x,y) = ( (x + y) " (x) " (y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f. Cuando se dice que la forma cuadrática es real. A veces a las formas cuadráticas definidas positivas se las denomina métricas. Formas cuadráticas Una forma cuadrática en R3 es cualquier conjunto de puntos xT=(x1,x2,x3) que satisface una ecuación del tipo: xTAx=r, (1) donde A es una matriz simétrica de 3x3 a coeficientes reales y r es un número real. Vía una rotación del espacio dada por y=PTx donde yT=(y1,y2,y3) y P es una matriz unitaria de 3x3 a coeficientes reales, se puede expresar una forma cuadrática arbitraria con respecto a un vector y de manera que: yTDy=r, (2) donde D es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales. ¿Porqué siempre pueden encontrarse P y D con las propiedades requeridas? ¿Por qué P representa una rotación del espacio? Vía un re-escalamiento adicional dado por z=D'y donde zT=(z1,z2,z3) y D' es una matriz diagonal de 3x3 a coeficientes reales no-negativos, se puede expresar la última ecuación obtenida con respecto el vector z de manera que quede representada por una ecuación del tipo: zTJz=r, (3) donde J es una matriz diagonal de 3x3 que sólo puede contener en su diagonal valores que están en {"1,0,1}.

Una forma cuadrática es una aplicación del espacio vectorial E en el cuerpo K, que cumple las siguientes condiciones equivalentes:

a) Existe una forma bilineal simétrica f de ExE en el cuerpo K tal que (x)=f(x,x). A f se le llama forma polar de .

b) (lx) = l2x
Además f(x,y) = ( (x + y) " (x) " (y)) / 2 es una forma bilineal simétrica definida en ExE y con valores en K. A se la llama forma cuadrática asociada a f.

Cuando K = R
se dice que la forma cuadrática es real. A veces a las formas cuadráticas definidas positivas se las denomina métricas.