6.7 Teorema de Cayley-Hamilton

En álgebra lineal, el teorema de Cayley-Hamilton (que lleva los nombres de los matemáticos Arthur Cayley y William Hamilton) asegura que todo endomorfismo de un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo cualquiera anula su propio polinomio característico.

En términos matriciales, eso significa que :

si A es una matriz cuadrada de orden n y si


es su polinomio característico (polinomio de indeterminada X), entonces al sustituir formalmente X por la matriz A en el polinomio, el resultado es la matriz nula:


El teorema de Cayley-Hamilton se aplica también a matrices cuadradas de coeficientes en un anillo conmutativo cualquiera.

Un corolario importante del teorema de Cayley-Hamilton afirma que el polinomio mínimo de una matriz dada es un divisor de su polinomio característico, y no solo eso, el polinomio mínimo tiene los mismos factores irreducibles que el polinomio característico.Toda matriz cuadrada satisface su propia ecuación característica. Es decir, si p(λ) = 0 es la ecuaciσn característica de A, entonces p(λ) = 0 .

El teorema de Cayley-Hamilton es una herramienta matematica poderosa, ya que permite
obtener con mayor facilidad el calculo de e^At con un esfuerzo mucho menor comparado con Laplace o el metodo de eigevalores, ademas funciona para calcular funciones matriciales en general.

Este teorema tiene dos familias de uso:

Permite establecer resultados teóricos, por ejemplo para calcular el polinomio característico de un endomorfismo nilpotente.
Permite también simplificaciones poderosas en el cálculo de matrices. La aproximación por polinomios mínimos es en general menos costosa que la que se hace por determinantes.
Encontramos este teorema utilizado en los artículos sobre los polinomios de endomorfismo, endomorfismos nilpotentes, y más en general en la teoría general de las matrices

Ejemplo:

Consideremos por ejemplo la matriz:

El polinomio característico se escribe


El teorema de Cayley-Hamilton afirma que:
A^2 − 5A − 2I2 = 0
y esta relación puede verificarse inmediatamente en ese caso. Además el teorema de Cayley-Hamilton permite calcular las potencias de una matriz de modo más sencillo que por un cálculo directo. Tomemos la relación anterior

A^ − 5A − 2I2 = 0
A^ = 5A + 2I2
Así, por ejemplo, para calcular A^4, podemos escribir

A^8 = (5A + 2I2)A = 5A2 + 2A = 5(5A + 2I2) + 2A = 27A + 10I2
y llegamos a

A^4 = A^83A = (27A + 10I2)A = 27A^2 + 10A = 27(5A + 2I2) + 10A
A^4 = 145A + 54I2.
Podemos utilizar también la relación polinomial inicial A2 − 5A − 2I2 = 0 para probar la inversibilidad de A y calcular su inverso. En efecto, basta con factorizar una potencia de A donde sea posible y
A(A − 5I) = 2I2

lo que demuestra que A admite como inverso



En algunas situaciones el teorema de Caley – Hamilton es útil para calcular la inversa de una matriz. Si existe A-1 y p(A) = 0, entonces A-1 p(A) = 0.para ilustrar esto, si p(λ) = λn + an-1 λn-1 + … + a1λ + a0, entonces

p(A) = An + an-1 An-1 + …+ a1A + a0I = 0

y

A-1p(A) = An-1 + an-1An-2 + … + a2A + a1I + a0A-1 = 0

Asi

A-1 = 1/a0 (-An-1 -an-1An-2 - … - a2A – a1I )

Observe que a0 es diferente de 0 porque a0 = det A (¿Por qué?) y se supuso que A era invertible.

1 −1 4

Ejemplo 2: Aplicación del teorema de Caley – Hamilton para calcular A-1 Sea A = 3 2 −1

1 −1

Entonces p(λ) = λ3 - 2λ2 - 5λ + 6. Aquí n = 3, a2 = −2,a1 = −5, a0 = 6 y A-1 = 1/6 (-A2 + 2A + 5I)

-6 −1 −1 2 −2 8 5 0 0

= 1/6 −7 0 −11 + 6 4 −2 + 0 5 0

-3 1 −8 4 2 −2 0 0 5

1 −3 7

= 1/6 −1 9 −13

1 3 −5