Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.
Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.
Definición. Sean V y W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal de V en W, es una función
que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar K,
T(u+v) = T(u) + T(v)
T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
Clasificación de las transformaciones lineales
Monomorfismo: Si
es inyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo
Epimorfismo: Si
es sobreyectiva (exhaustiva).
Isomorfismo: Si
es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
Endomorfismo: Si
o sea si el dominio es igual al codominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo)
Automorfismo: si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.
No hay comentarios:
Publicar un comentario